几何原本

《几何原本》（古希腊语：Στοιχεῖα，Stoicheia）是古希腊数学家欧几里得所著的一部几何学著作，共13卷，成书于约公元前300年。《几何原本》常被称为有史以来最成功的教材，至今仍被用作几何入门。该书在中世纪被翻译成阿拉伯语和拉丁语，对中世纪伊斯兰世界和西欧的数学产生了巨大影响，并推动了逻辑学和现代科学的发展。。

目录

欧几里得所著的《几何原本》共分13卷。

《元素》并不像有时认为的那样只讨论几何。 传统上分为三个主题：平面几何（第一至六卷）、基础数论（第七至十卷）和立体几何（第十一至十三卷）。

公理系统

《几何原本》的理论是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的真命题。

欧几里得平面几何的五条公理（公设）是：

从一点向另一点可以引一条直线。

任意线段能无限延伸成一条直线。

给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

所有直角都相等。

若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：

欧几里得还提出了五个一般概念，也可以作为公理使用。

与同一事物相等的事物相等。

相等的事物加上相等的事物仍然相等。

相等的事物减去相等的事物仍然相等。

一个事物与另一事物重合，则它们相等。

整体大于局部。

现代学者一致认为，欧几里得的假设并未提供完整逻辑基础。现代的处理则采用更完整的公理集。

第一卷至第六卷：平面几何

第一卷：几何基础。本卷确立了基本定义、公设和公理，还包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。

第二卷：几何与代数。该卷主要讨论的是毕达哥拉斯学派的几何代数学，主要包括大量代数定理的几何证明。

第三卷：圆与角。本卷阐述了圆、弦、割线、切线、圆心角、圆周角的一些定理。

第四卷：圆与正多边形。本卷讨论了已知圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。

第五卷：比例。本卷对欧多克索斯的比例理论进行阐述，第六卷：相似。本卷阐述了比例的属性，以及相似形的概念，包括了泰勒斯定理。

第七卷至第九卷：数论

第七卷：数论（一）。本卷内容包括整除性、质数、最大公约数、最小公倍数等初等数论内容。

第八卷：数论（二）。本卷继续讨论初等数论，包括欧几里得辗转相除法、各种数的关系（如质数、合数、平方数、立方数等）。

第九卷：数论（三）。本卷设计了比例、几何级数，给出了许多重要的初等数论定理。

第十卷：无理数。本卷定义了无理量（即不可公约量），并蕴含了极限思想（如穷竭法）。本卷篇幅最大，也较不易理解。

第11卷至第13卷：立体几何

第11卷：立体几何。本卷论述立体几何；将第一卷至第六卷的主要内容推广至立体，如平行、垂直以及立体图形的体积。

第12卷：立体的测量。本卷重在讨论立体图形的体积，例如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥以至球体的体积。

第13卷：建正多面体。本卷重点研究正多面体的作图。包含了五种正多面体的作图，并证明了不存在更多的正多面体。

传入中国的历史

几何原本被很多学者认为是欧几里得把很多前人所证明的原理以及自己的一些原创证明汇集在一起的著作，古希腊的一名历史学家普罗克洛就这样认为。

欧几里得约于公元前300年写成《几何原本》。

它翻译成阿拉伯文，然后再二手翻译成拉丁文。最先的印制本出现于1482年。希腊语版本仍然存在于各地，如梵蒂冈教廷图书馆或牛津大学的博德利图书馆。遗憾的是这些现存手抄本品质参差而不完整。

中国最早的译本是1607年意大利传教士利玛窦和中国学者徐光启根据德国神父克里斯托弗·克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（15卷）合译的，定名为《几何原本》，几何的中文名称就是由此而得来的。他们只翻译了前6卷，后9卷由英国人伟烈亚力和中国科学家李善兰在1857年译出。

元朝波斯人札马鲁丁在秘书监时，引进波斯文和阿拉伯文的各种数学与科学书籍，包括欧几里得《几何原本》，命名为《四擘算法段数》。但它大概并未翻译成中文，也没有引起学者注意。